Bảng công thức nguyên hàm thường gặp
Công thức nguyên hàm một trong những phần không thể thiếu trong môn Toán lớp 12, cũng là khái niệm xuất hiện nhiều trong đề thi quan trọng như thi chuyển cấp, Đại học. Dẫu biết toán học là môn phức tạp, dòng lý thuyết sẽ không giúp được gì nhiều trong cách làm bài tập, nên chúng tôi sẽ đúc kết lại những kiến thức căn bản và quan trọng nhất giúp các em phần nào giải quyết những khó khăn khi ôn tập. Ngay bây giờ chúng ta cung nhau tìm hiểu về bảng công thức nguyên hàm nhé.
Bảng công thức nguyên hàm thường gặp
Khái niệm nguyên hàm là gì?
Trong chương trìnhToán học, nguyên hàm được kí hiệu bằng chữ K và được đinh nghĩa như sau: Đó là một khoảng hoặc đoạn hay chỉ là nửa khoảng của số thực nào đó. Bởi thế, nguyên hàm nó liên quan trực tiếp đến phần hàm số.
Hàm số F(x) sẽ được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu như F'(x) = f(x) thõa mãn điều kiện với mọi x ∈ K. Mọi hàm số đều có nguyên hàm.
Ngoài ra, còn có thêm một số định nghĩa nguyên hàm tương đương khác của các tài liệu cho các em học sinh tham khảo:
Định nghĩa về nguyên hàm
>>> Xem thêm: Trung tâm cung cấp dịch vụ gia sư Toán Hà Nội
- Định nghĩa thứ 1 về nguyên hàm
Định lý 1:
Nếu như F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K với hằng số C, thì khi đó hàm số G(x)=F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
Định lý 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mọi nguyên hàm của f(x) trên K cũng đều có dạng F(x)+C trong đó C là một hằng số.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) được ký hiệu: ∫f(x)dx.
Khi đó ta sẽ có: ∫f(x)dx=F(x)+C,với C∈R.
Định lí 3:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
3 tính chất của nguyên hàm
Từ khai niệm nguyên hàm chúng ta có thể suy ra 3 tính chất sau:
- Tính chất thứ 1: ∫f′(x)dx = f(x)+C
- Tính chất thứ 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k là một hằng số khác 0)
- Tính chất thứ 3: ∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx
∫dx=x+C ∫du=u+C |
∫cosxdx=sinx+C ∫cosudu=sinu+C |
∫xαdx=1α+1xα+1+C ∫uαdu=1α+1uα+1+C |
∫sinxdx=−cosx+C ∫sinudu=−cosu+C |
∫exdx=ex+C ∫eudx=eu+C |
∫dxcos2x=tanx+C ∫ducos2u=tanu+C |
∫axdx=axlna+C(0<a≠1) ∫audu=aulna+C(0<a≠1) |
∫dxsin2x=−cotx+C |
Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số được thể hiện qua đinh lý 1:
Cho hàm số u=u(x)u=u(x) khi có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số thứ 2 với y=f(u)y=f(u) liên tục sao cho f[u(x)]f[u(x)] cũng xác định trên K. Khi đó nếu như FF là một nguyên hàm của ff, tức là:
∫f(u)du=F(u)+C∫f(u)du=F(u)+C thì ∫f[u(x)]dx=F[u(x)]+C.∫f[u(x)]dx=F[u(x)]+C
Ta đươc hệ quả:
Với u=ax+b(a≠0) ta có:
∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C
Dùng phương pháp biến đổi sô tính nguyên hàm
Xem thêm:
>>> Bảng giá gia sư Toán lớp 10 tại Hà Nội
>>> Bảng giá gia sư Toán lớp 11 tại Hà Nội
>>> Bảng giá gia sư Toán lớp 12 tại Hà Nội
Biết rằng nếu ∫f(x)dx=F(x)+C thì ∫f(t)dt=F(t)+C.
Từ đó ta có được phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số như sau:
Với dạng g(x)=f(u(x))u′(x) bằng cách đặt t=u(x)
Khi đó ∫g(x)dx=∫f(u(x))u′(x)dx
Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx (lấy đạo hàm cả hai vế) ⇒∫g(x)dx=∫f(t)dt=F(t)+C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin3xcosx
Bài giải:
Ta thấy f(x)=sin3xcosx=(sinx)3(sinx)′ nên ta đặt t=sinx.
⇒dt=cosxdx
⇒∫sin3xcosxdx=∫t3dt=t44+C=sin4x4+C (C∈R)
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu như có 2 hàm số u=u(x)u=u(x) và v=v(x)v=v(x) có đạo hàm, liên tục trên K thì ta có:
∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)–∫u′(x)v(x)dx∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)–∫u′(x)v(x)dx
Phương pháp nguyên hàm từng phần áp dụng để tính những dạng tích của hai hàm số dạng: f(x) = u(x).v′(x)
Theo công thức đạo hàm một tích, ta có:
(uv)′ = u′v+uv′⇒uv′ = (uv)′–vu′
⇒∫uv′dx = ∫[(uv)′–u′v]dx = uv–∫u′vdx
Hay ∫udv = uv–∫vdu đậy là công thức tính nguyên hàm từng phần
Cách tính theo công thức nguyên hàm từng phần: ∫f(x)dx = ∫u(x).v′(x)dx
Đặt {u = u(x)⇒du = u′(x)dx (ta sẽ lấy đạo hàm của 2 vế)
Khi đó dv = v′(x)dx ⇒v = v(x) (nguyên hàm 2 vế)
⇒∫f(x)dx=uv–∫vdu
Chú ý: Phương pháp này chỉ áp dụng cho những hàm số có dạng tích 2 hai hàm số như:lượng giác, đa thức, mũ, logarit.
Thường sẽ có dạng P(x).exdx, ∫P(x).lnxdx hay ∫P(x).sinxdx, trong đó: P(x) là một hàm đa thức.
Khi làm dạng bài này các em ta cần nhớ thứ tự ưu tiên khi đặt u là: log, đa rồi mới đến mũ, lượng.
Bài viết trên là bảng công thức nguyên hàm chi tiết nhất. Việc ghi nhớ và áp dụng thành thạo bảng nguyên hàm là điều bắt buộc đối với học sinh. Các em hãy liệt kê trong đầu mình những công thức thường xuyên dùng để giải bài tập, có thể dễ dàng xem lại bất cứ lúc khi cần. Nó sẽ rất hiệu quả khi các em bắt đầu học một chương trình mới.
Nếu như các bạn vẫn đang gặp khó khăn trong phần nguyên hàm thì hãy tìm ngay cho mình một gia sư dạy toán tại nhà nhé.
♦ Gia sư có lý lịch rõ ràng khi đến gặp gia đình ( Xuất trình thẻ SV , CMND , Bằng , Bảng Điểm… )
"Chính sách Ưu việt duy nhất Hà Nội":
♦ Tìm gia sư Free!
♦ Học thử 3 Buổi Free.
♦ Đổi ngay gia sư nếu gia đình không hài lòng.
♦ Hoàn 100% học phí nếu không tiến bộ theo cam kết.
♦ Gia sư có hồ sơ rõ ràng: Thẻ SV, Thẻ GV, Bằng tốt nghiệp, CMND.
Trong quá trình học nếu có vấn đề gì chưa hài lòng, quý phụ huynh có thể thông báo ngay cho chúng tôi để trung tâm có thể đưa ra những điều chỉnh kịp thời nhằm nâng cao chất lượng phục vụ và đảm bảo quyền lợi cho gia đình.
HÃY ĐỂ CHÚNG TÔI SAN SẺ TRÁCH NHIỆM CÙNG QUÝ PHỤ HUYNH!
Gọi Ngay Cho Chúng Tôi Để Được Tư Vấn Tìm Gia Sư Tốt Nhất.
(Hotline) : 0979.48.48.17 hoặc 024.62.924.183 (24/24) .
Quý phụ huynh nếu liên hệ không được hãy đăng ký tại đây chúng tôi sẽ gọi lại nhé!
Đăng Ký Tìm Gia Sư Tại Đây.
(Trung tâm sẽ có phản hồi sớm nhất tới Quý phụ huynh trong vòng 1 giờ)